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因数分解:x^2+2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)

 x^2+2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)の因数分解を書きました。ひと様に手順を教えていただき、備忘録的な記事としてまとめました。50年前の「数Ⅰ」(高校教科書)にありました。
誤り、手順の稚拙さ、などご指摘いただければ幸いです。もっとスマートに答えに至る道はないのか、というのが正直な気持ちです。

因数分解の問題が解けませんで、町内の塾講師経験者に尋ねたりしました。見事に答えが返ってきまして、感心しきり…。単に、爺の脳みそが腐っているだけなのかもしれません(=事実腐っている)。

\quad x^2+2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)を因数分解する

\quad x^2+2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)\quadを因数分解した答えは \quad (x+ab+2a)(x-ab+2b)\quadです。

この問題と解答は、爺が高校生のとき勉強した教科書「文部省検定済教科書 61 啓林館ー数Ⅰ 028 改訂高校新数学 数学Ⅰ」(正田健次郎・吉田耕作編 株式会社新興出版社啓林館発行 昭和42年12月10日発行」の「補充問題」にありました。

対称式、交代式、たすき掛けの三つのどれかに当てはまるはずなのですが、一見そのようには見えないという…。

<たすき掛け その1>

同教科書には「二次式の因数分解」で現在「たすき掛け」と呼ばれる解法が紹介されていました。爺の教科書にもその位置に赤いペンでしるしをしておりました…。


【たすき掛け:数学Ⅰ 啓林館 1967年 18頁】
【たすき掛け:数学Ⅰ 啓林館 1967年 18頁】

教科書の練習問題で \quad a,b,c \quadを使う「交代式」以外で三項( x,a,b)を使うのは、\quad x^2+2(b-a)x+(a-b)^2 \quad のみでした。これをヒントのひとつにして\quad x^2+2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)\quadを解く努力をしたはずです(爺談…)。

しかし、当時の結果も現在のそれも、虚しいというか、自力で答えに至るということになっておりませぬ。二つのカッコ内にそれぞれ三項を含むのか、三つのカッコにそれぞれ二項を含むのかなど、見極めができない…シクシク。情けないことです(実力相応とも言う)…。

<たすき掛け その2>

で、教えてもらった解答に至る計算を見ながら、爺なりに何日も(=怪)考えてみたです。単にうたた寝の時間が増えただけでもありましたが。

\quad x^2+2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)を少し単純にし、たすき掛けの考えを利用できないか考えてみました。

  • \quad 2(a+b)\quad\quad Y+Z \quadの計算結果と考えます。ただし、 -ab(a-2)(b+2)なのでYまたはZはマイナス値になることを忘れないことにして進行
    • \quad 2(a+b)\quadは計算結果なので、もしかして計算前には相殺された2項以上がある可能性を忘れない
  • \quad ab(a-2)(b+2)\quad\quad Y\times Z \quadとします。(a-2)(b+2)が因数分解の部分的な結果のように見えるので、これを展開するのはひとまず避ける。
  • \quad x^2\quadの係数が1なので、主に ab(a-2)(b+2)\quadからY Zを見つける努力をします

<たすき掛け その3>

\quad ab(a-2)(b+2)\quadY Zの二つのかたまりにする組み合わせを考え、与えられた式「 -ab(a-2)(b+2)」の先頭がマイナスなので減算し、結果が2(a+b)と同値になれば、たすき掛けの方法で解けることになりそうです。

  • \quad ab=Y,\quad \{(a-2)(b+2)\}=Zとして、Y+(-Z)または、-Y+Zとたすき掛けのお約束計算しても、 2(a+b)と同値でないので、NG
  • \quad (ab)(a-2)=Y,\quad (b+2)=Zとして前項と同様計算の結果は、 2(a+b)と同値とならずNG
  • \quad (a-2)=Y,\quad(ab)(b+2)=Zも前算と同様NG

<たすき掛け その4>

その3では、(ab),(a-2),(b+2)\quadを分解せず計算したが、それぞれY, Zの値としてNGであることがわかりました。

次は、 (ab)を分解し a,\quad bとしたうえで(a-2),\quad(b+2)に乗算します。(1) a(a-2)=Y,b(b+2)=Z、(2) b(a-2)=Y,a(b+2)=ZとしてY+Zを計算した。
(1) a^2-2a=Y,b^2+2b=Zとし、Y+(-Z)または-Y+Zとして計算しても、いずれも\quad 2(a+b)\quadと同値とならずNG
(2) ba-2b=Y, ab+2a=Zとし、Y+(-Z)または-Y+Zとして計算する。
(2)A:ba-2b=Y, ab+2a=ZY+(-Z)として計算 (ba-2b)+\{-(ab+2a)\}=(ab-2b)-(ab+2a )=ab-2b-ab-2a=ab-ab-2a-2b=(ab-ab)-2(a+b)=-2(a+b)
(2)B:ba-2b=Y, ab+2a=Z-Y+Zとして計算-(ba-2b)+(ab+2a)=-ba+2b+ab+2a =(-ba+ab)+2a+2b=2(a+b)

この結果、(2)Bが、2(a+b)になり、求めたい値と同値になった。

<たすき掛け 検算>

前項の結果から、ba-2b=Y, ab+2a=Z-Y+Zとして計算すれば因数分解できることがわかった。これが、問題式と合致するか検算する。

問題式:\quad x^2+2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)\quad

ba-2b=Y, ab+2a=Z-Y+Zの要素項目として因数分解すればよいわけだから、ba-2bb(a-2)ab+2aa(b+2)と整式し、乗算するとab(a-2)(b+2)をえることができた。そして先頭はマイナスなので問題式の右側の項「-ab(a-2)(b+2)」と齟齬がないことがわかる。

<因数分解>

\quad x^2+2(a+b)x-ab(a-2)(b+2)\quad は、(x-Y)(x+Z)で解けることになり、Y=ab-2b,Z=ab+2aを左の式に代入すると、\{x-(ab-2b)\}\{x+(ab+2a)\}=(x-ab+2b)(x+ab+2a)となって、整式すると(x+ab+2a)(x-ab+2b)で、求められる因数分解に到達ができた(ことになる…)。

<反省>

ここに至るも、OKなのかどうかを自身でちゃんと判断できているか不安です。

特に、-ab(a-2)(b+2)の先頭のマイナスを見たとき、たすき掛けのやり方になれていれば、早々と-a\times b,a\times(-b)に分けてからたすき掛けの組み合わせを試すというのが浮かぶかもしれませんね。

カッコがいくつで、カッコの中にいくつの項目があるのかの糸口を得るのにもずいぶん時間をとられました。三つのカッコだと交代式が多いですけど、どうもそうでもなさそうだし、かといって、などとずいぶん回り道しました。(x+Y)(x+Z)のもう一つ先とでもいえばよいのでしょうか(x-Y)(x+Z)かもしれないというのは、なかなかしぶとかったです。なにせ右側の「-ab(a-2)(b+2)」では展開すると(ab)^2ができるので余分なことを考えてしまい(=道に迷っているだけ)混乱しました。
さらに手前では、平方完成、解の公式など結果的に無駄な努力もいっぱいやりました。

最後に、この因数分解問題が、 x^2+2(a+b)x-a^2b^2-2a^2b+2ab^2+4abとして出題されることはあるのだろうかと考えてはみましたが、容易にabで整理できるのを見つけることができるので、それはないのか、と思いました。