2次方程式を、「平方完成」で解いてみる。中学数学

問題は「2次方程式の解の公式」の【確認】③で出題されています。 $\quad3x^2 -2x-2=0\quad$ を「解の公式」で解くようなっていました。

公式を使えば解ける。では「平方完成」で解くことが爺はできるかという…。
中学校数学では、 $\quad x^2+nx+(\dfrac{n}{2})^2=0\quad$ というような形で習うのかと…。

問題には、 $\quad x^2\quad$ の前に３があるし、 $\quad +nx\quad$ のところは $\quad -2x\quad$ になってるし…爺泣く…。

ここでめげてはいけませぬ。
まず、左辺の $\quad -2\quad$ を右辺に移し、式全体を $\quad3x^2-2x=2\quad$ とした後、両辺を３で割ることにします。こうなります。
$\quad \dfrac{3x^2-2x}{3}=\dfrac{2}{3}\quad$ 左辺を整理して、 $\quad x^2-\dfrac{2}{3}x=\dfrac{2}{3}\quad$ となりました。

少し前進した気がする（≒妄想か）。

左辺の $\quad\dfrac{2}{3}\quad$ を半分、つまり $\quad\dfrac{1}{3}\quad$ を二乗した $\quad(\dfrac{1}{3})^2\quad$ を両辺に足します（等式が維持できる。左辺は因数分解できそうだ…）
この段階で式は、次のようになります。
$\quad x^2-\dfrac{2}{3}x+(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{2}{3}+(\dfrac{1}{3})^2\quad$

左辺を因数分解すると、 $\quad(x-\dfrac{1}{3})^2\quad$ になります。
右辺 $\quad\dfrac{2}{3}+(\dfrac{1}{3})^2\quad$ は、いったん分母を９の式にすると、 $\quad \dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{9}\quad$ 、となり計算すると、 $\quad\dfrac{7}{9}\quad$ になりました。

再度、右辺と左辺の現在の式を確認します。
$\quad(x-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{7}{9}\quad$ かなり答えに近くなったの・か・な…。

式を平方完成で解こうということで、根を求めると、次のようになります。
$\quad x-\dfrac{1}{3}=\pm\sqrt{\dfrac{7}{9}}\quad$ 右辺のルート中の $\quad\dfrac{7}{9}\quad$ は $\quad\dfrac{7}{3^2}\quad$ だから、右辺は $\quad \pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}\quad$ と書き直せる…ヨシヨシ。
すると、現在の式全体は、 $\quad x-\dfrac{1}{3}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}\quad$ 左辺の $\quad -\dfrac{1}{3}\quad$ を右辺に移すと $\quad x=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}+\dfrac{1}{3}\quad$ これを変形し、 $x=\dfrac{{1}\pm\sqrt{7}}{3}\quad$ これで答えに到達できました…（怪）。