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2次方程式を、「平方完成」で解いてみる。中学数学

問題は「2次方程式の解の公式」の【確認】③で出題されています。  \quad3x^2 -2x-2=0\quad を「解の公式」で解くようなっていました。

公式を使えば解ける。では「平方完成」で解くことが爺はできるかという…。
中学校数学では、\quad x^2+nx+(\dfrac{n}{2})^2=0\quadというような形で習うのかと…。

問題には、\quad x^2\quadの前に3があるし、\quad +nx\quad のところは  \quad -2x\quadになってるし…爺泣く…。

ここでめげてはいけませぬ。
まず、左辺の\quad -2\quadを右辺に移し、式全体を\quad3x^2-2x=2\quadとした後、両辺を3で割ることにします。こうなります。
\quad \dfrac{3x^2-2x}{3}=\dfrac{2}{3}\quad 左辺を整理して、\quad x^2-\dfrac{2}{3}x=\dfrac{2}{3}\quad となりました。

少し前進した気がする(≒妄想か)。

左辺の\quad\dfrac{2}{3}\quad を半分、つまり\quad\dfrac{1}{3}\quad を二乗した\quad(\dfrac{1}{3})^2\quad を両辺に足します(等式が維持できる。左辺は因数分解できそうだ…)
この段階で式は、次のようになります。
\quad x^2-\dfrac{2}{3}x+(\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{2}{3}+(\dfrac{1}{3})^2\quad

左辺を因数分解すると、\quad(x-\dfrac{1}{3})^2\quadになります。
右辺\quad\dfrac{2}{3}+(\dfrac{1}{3})^2\quadは、いったん分母を9の式にすると、\quad \dfrac{6}{9}+\dfrac{1}{9}\quad、となり計算すると、\quad\dfrac{7}{9}\quad になりました。

再度、右辺と左辺の現在の式を確認します。
\quad(x-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{7}{9}\quad かなり答えに近くなったの・か・な…。

式を平方完成で解こうということで、根を求めると、次のようになります。
\quad x-\dfrac{1}{3}=\pm\sqrt{\dfrac{7}{9}}\quad 右辺のルート中の\quad\dfrac{7}{9}\quad\quad\dfrac{7}{3^2}\quadだから、右辺は\quad \pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}\quadと書き直せる…ヨシヨシ。
すると、現在の式全体は、\quad x-\dfrac{1}{3}=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}\quad 左辺の\quad -\dfrac{1}{3}\quad を右辺に移すと\quad x=\pm\dfrac{\sqrt{7}}{3}+\dfrac{1}{3}\quadこれを変形し、x=\dfrac{{1}\pm\sqrt{7}}{3}\quad これで答えに到達できました…(怪)。

合ってますかね…中学からずっと数学苦手な爺がやってみた結果なんですけど…。ご助言、間違いなどコメントで教えてくださいませ。